Le complément à deux

Représenter des nombres négatifs en binaire

En binaire, on représente naturellement les nombres positifs. Mais comment représenter des nombres négatifs ?

La solution la plus répandue est le complément à deux.

Principe

On choisit une taille fixe en bits (souvent 8, 16, 32 ou 64 bits). Le bit le plus à gauche est appelé bit de signe :

• 0 signifie que le nombre est positif
• 1 signifie que le nombre est négatif

Le complément à deux permet de coder les entiers de $-2^{n-1}$ à $2^{n-1}-1$ pour $n$ bits.

Par exemple, sur 8 bits :

• min : $-2^7 = -128$
• max : $2^7 - 1 = 127$

Calcul du complément à deux

Pour coder un nombre négatif $-x$ sur $n$ bits :

1. On code $x$ en binaire (positif) sur $n$ bits
2. On inverse tous les bits (complément à un)
3. On ajoute 1 au résultat

Pourquoi ça marche ?

Parce qu'on obtient un comportement cohérent avec l'addition binaire :

TODO

Attention en Python !

En Python, les entiers ne sont pas limités à 8 bits. Ainsi :

~255 = -256

Cela peut provoquer des erreurs si on attend un résultat sur 8 bits.

(~x) & 255

Complément à deux et bornes

Sur 8 bits, les valeurs possibles sont :