Bases de numération et entiers positifs

Introduction

Quand vous écrivez 2026, vous utilisez sans y penser une convention : chaque chiffre occupe une position qui correspond à une puissance de 10. La position des unités vaut $10^0$, celle des dizaines $10^1$, celle des centaines $10^2$, et ainsi de suite. C'est la base 10, ou notation décimale.

Un ordinateur, lui, ne distingue physiquement que deux états : courant qui passe ou non, aimantation positive ou négative, tension haute ou basse. Il est donc naturel qu'il travaille en base 2 : il n'utilise que deux chiffres, 0 et 1, appelés bits (binary digit). Pour faciliter la lecture humaine de ces longues suites de bits, on utilise aussi la base 16 (hexadécimal) et, plus rarement, la base 8 (octal). [PB01]

Le principe d'une base $b$

Dans une base $b$ (avec $b \geq 2$), on dispose de $b$ chiffres distincts, allant de $0$ à $b-1$. Un nombre s'écrit comme une suite de ces chiffres, et la valeur du nombre se calcule en sommant chaque chiffre multiplié par la puissance de $b$ correspondant à sa position.

Pour un nombre noté $(c_{n-1} c_{n-2} \ldots c_1 c_0)_b$ dans la base $b$ (les $c_i$ étant les chiffres, à ne pas confondre avec la base $b$) :

En hexadécimal, les lettres A à F représentent les valeurs $10$ à $15$. Ainsi, B vaut $11$ et F vaut $15$.

Du binaire au décimal

Pour convertir une écriture binaire en décimal, on somme les puissances de 2 correspondant aux bits valant 1.

Exemple : convertir $(1011)_2$.

Python sait faire cette conversion automatiquement grâce à int() avec sa base passée en second argument :

print(int("1011", 2))  # 11
print(int("FF", 16))   # 255
print(int("17", 8))    # 15

Du décimal au binaire — les divisions successives

Pour passer du décimal au binaire, on divise le nombre par 2 et on note le reste. On répète l'opération sur le quotient jusqu'à obtenir 0. La lecture des restes de bas en haut donne l'écriture binaire.

Exemple : convertir $13$ en binaire.

En lisant les restes de bas en haut : $13 = (1101)_2$.

Sortie attendue :

13 en binaire : 0b1101
13 en hexadécimal : 0xd
13 en octal : 0o15

Le pont avec l'hexadécimal

L'hexadécimal a un atout précieux : chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits. La conversion binaire ↔ hexadécimal se fait donc par blocs, sans aucun calcul.

Exemple : $(2F)_{16} = (0010\ 1111)_2 = 47$.

C'est pour cela qu'on rencontre l'hexadécimal partout en informatique : adresses mémoire, couleurs CSS (#FF8800), valeurs d'un octet… Lire un octet en hexadécimal, c'est lire 2 chiffres au lieu de 8 bits.

Combien de bits pour un nombre ?

Avec $n$ bits, on peut représenter $2^n$ valeurs différentes, soit les entiers de $0$ à $2^n - 1$.

Inversement, pour écrire un entier $N$ positif, il faut $\lfloor \log_2(N) \rfloor + 1$ bits. En pratique, vous pouvez aussi compter en utilisant bin(N) :

n = 1000
print(bin(n))            # 0b1111101000
print(len(bin(n)) - 2)   # 10 — on retire le préfixe "0b"

Pièges courants

Pour aller plus loin

Python gère les entiers de taille arbitraire : vous pouvez calculer $2^{1000}$ sans erreur, contrairement à beaucoup d'autres langages où les entiers sont bornés à 32 ou 64 bits. Vous reverrez cette notion dans le cours suivant sur les entiers relatifs.